Těžiště tělesa - odvození vzorce

Kategorie >>Věda a technika>> Těžiště tělesa - odvození vzorce


Včera jsem otcoj počítal ňáký spřažený profily... U a dřevěný trám na vaznici. Dostal jsem se do situace, kdy jsem si nebyl jist se vzorcem těžiště tělesa. Podíval jsem se tedy na net, ale řekl jsem si, že si pozici těžiště odvodím na papíře, ať můžu v klidu zapomenout úspěšně další vzorec.

 

Definice těžiště:

Těžiště (tělesa, soustavy,..) je bod, kterým prochází výslednice gravitačních sil působících na těleso, soustavu hmotných bodů, soustavu obrazců...

 

Případ pro dva předměty:

Máme dvě tělesa o hmotnostech mA a mB. Každě má tedy určitou tíhu, označme ji FA a FB. Postup určení těžiště u takovéhObrázeko případu je vyloženě brnkačka, momentová výminka k námi určenému bodu, viz. obrázek.

Zvolme si bod na spojnici mezi těžišti obou těles (vzdálenosti v mezi těžišti), bod označíme T, jako námi hledané těžiště.

Rovnováha momentů k ose o, procházejícím bodem T, hledaná vzdálenost je rA, viz obrázek:

MA=MB

FA . rA = FB . rB

FA . rA = FB . (v - rA)

rA = v . FB / (FA + FB)

 

Případ pro n předmětů:

n předmětů se řeší prakticky totožně, ov&scarObrázekon;em n jsem zobrazil třema předmětama, původně jsem kreslil n předmětů, ovšem se mi to kreslilo dost špatně, proto to zjednodušení.

Zvolíme si bod B, ležící na ose b, bod B zvolit nejlépe před prvním tělesem. Vzdálenost mezi těžištěm T a bodem O, tj. /OT/ označíme jako hledanou neznámou x. Vzdálenosti ri jsou spojnice mezi těžištěm T a těžištěm jednotlivých těles.

Rovnováha momentů k ose o, procházejícím bodem T tedy vypadá takto:

M1 + M2 + M3+..... + Mi = 0

F1 . (x - x1) + F2 . (x - x2) + F3 . (x - x3) + .... + Fi . (x - xi) = 0

x . ( F1 + F2 + F3 +... + Fi ) = F1 . x1 + F2 . x2+ F3 . x3 + ... + Fi . xi

x = (F1 . x1 + F2 . x2+ F3 . x3 + ... + Fi . xi ) / ( F1 + F2 + F3 +... + Fi )

tedy:

x = ∑(Fi . xi) / Fi

Tak a máme těžiště soustavy sil, hmotných bodů ....

Pro stavařskou praxi celkem jednoduchý a praktický vzoreček. Ve stavařině se počítá povětšinou se stejným materiálem, tudíž se nemusí přepočítávat tíha jednotlivých těles (resp. obrazců), znalost plochy a těžiště obrazce.

Vše tedy bude vypadat následovně:

x = (A1 . x1 + A2 . x2+ A3 . x3 + ... + Ai . xi ) / (A1 + A2 + A3 +... + Ai )

tedy:

x = ∑(Ai . xi) / Ai

přičemž Ai . xi je statický moment Soi k ose o procházejícím těžištěm T a platí tedy:

Soi = Ai . xi

A = ∑Ai

 

So = ∑(Ai . xi)

x = So / A

pro různorodá tělesa tedy:

x = So / F ; F = ∑Fi

či

x = So / m ; m = ∑mi

 

kde F (resp. m) jsou jednotlivé tíhy (resp. hmotnosti) jednotlivých obrazců, hmotných bodů, ...

Dobrý stavař by neměl zapomenout na elegantnost zjištění těžiště pro těleso složené z různých materiálů, tedy variantu, kdy si vypočítá jednotlivé tíhové síly či hmotnosti a sestaví momentovou podmínku rovnováhy, ze které vypočte pozici těžiště.

 

Při hledání těžiště je dobré si všimnout symetrie tělesa. Na ose symetrie tělesa totiž leží těžiště a ušetříme si práci o hledání těžiště k dané ose symetrie. Přikladem je např. jehla, váza, cokoliv rotačního (rotační kulomet, rotační kačaba :) ).

Při hledání těžiště v rovině si spočteme těžiště nejprve k ose jedné, poté k ose druhé a v prostoru postupujeme analogicky, těžiště hledáme ke třem osám.

Matematika má silný nástroj v integálech, křivkových integrálech, ovšem to přesahuje rámec dnešního jednoduchého odvození. (navíc bude muset martin ňák zvládnout zápis vzorců, pěkně zlomky, odmocniny,...)

 






Vloženo: 26.12.2007 21:20
Přečteno:10448
Autor: David Mizera

Hlasů: 46 Hodnocení(jako ve škole): 3.17
 

Komentáře (0)

   -     Nový Komentář