Moment setrvačnosti obdélníku v 2D

Kategorie >>Věda a technika>> Moment setrvačnosti obdélníku v 2D


Poslední dobou sem se ve škole setkal se zbytečným nešvarem a to ve výpočtech momentu setrvačnosti k nějaký vose.


Vezmu ten nejjednodušší případ a to je výpočet momentu setrvačnosti složenýho rovinnýho vobrazce z obdélníků. Všichni jsou tupě a trošku zbytečně naučený použít pro každou část rovinnýho obrazce – v tomle případě pro každej obdélníček moment setrvačnosti k centrální ose (tj. moment setrvačnosti, k vose procházející těžištěm rovinnýho vobrazce) a připočíst k němu Steinerův doplněk (ten kompenzuje vzdálenost skutečný polohy jednotlivýho vobdélníčku od celýho těžiště rovinnýho tělesa).


 


88_obdelnik.jpg


Takže to vypadá zhruba takle: moment setrvačnosti vobdélníku se k těžišťový vose např. y spočte jednoduše :


Iy1 = 1/12 . b . h3


kde


b je rovnobježná strana k těžišťový vose y


h je srana vobdélníku kolmá na y


 


a k tomu se přidá Steinerův doplněk :


Iy2 = A . r2


kde


A je plocha vobdélníku (A=b.h)


r je vzdálenost těžiště tajitoho vobdélníku vod vosy y, prakticky to je vzdálenost osy y vod půlky hrany “h” kolmý na vosu y


 


Takže celkovej vzorec vypadá následovně :


Iy = 1/12 b.h3 + bh.r2


 


No a vezměme to vobecněji, aby každej viděl možnej postup, jak si to zjistit sám a bez naučených vzorců, ikdyž popravdě de vo jedno a o samý.


Moment setrvačnosti je definovanej na oblasti Ω asi zhruba přesně následovně:


 


Iy = ∫z2


 


Nakeslíš si vobdélník do nějaký ortogonální soustavy souřadnic, takže ta bude mít dejme tomu vosu y kolmou na vosu z.


Tak dvojnej integrál se v tomle případě počítá hodně jednoduše – ještě si vzmezíme meze vobdélníku a tak... budeme počítat moment setrvačnosti k vose y. Na vose y si poznačíme vzdálenosti A,B; A < B, což sou body vobdélníku promítnutý na vosu y z hrany s toule vosou rovnoběžný.


Ok a na vosu z, kerá je k vose y kolmá jak sviň si promítneš body C a D, zase C < D a taky to je rovnoběžná hrana k vose – ale k vose z.


Ok a tím máme vymezený hranice integrálu.


Výpočet je jednoduchej a to:


Iy = ∫z2 dΩ = ∫z2 dydz =


= [A,B]dy [C, D] z2 dz =


= 1/3 . [A,B]dy (D3-C3) =


= (D3-C3)/3 . (y)[A, B] =


= (B-A)(D3-C3)/3 =
= b(D3-C3)/3

 


Iy = (B-A)(D3-C3)/3 = b(D3-C3)/3


kde h je strana rovnobježná s osou momentu setrvačnosti.


 


Čest mechanice



Souvisejicí články
Zakládání staveb, tahákfakulty stavební




Vloženo: 22.11.2006 18:49
Přečteno:15685
Autor: David Mizera

Hlasů: 36 Hodnocení(jako ve škole): 2.83
 

Komentáře (7)

   -     Nový Komentář
Autor:
 Petra
Datum:
  21.06.2007 08:46:29
reagovat
Rozhodně děkuju za návod k výpočtu momentu se ster.doplnkem, ale ta čeština???? co to je? to se nedá číst...Vosa? Vobdélník? to je trochu moc...
Autor:
 MM
Datum:
  21.06.2007 09:13:39
reagovat
Jo jo, já to Davidovi říkám pořád, že píše jak čuňátko :)
Autor:
 dm
Datum:
  21.06.2007 09:28:50
reagovat
popripade neni ster. ba Steineruv doplnek :) dys us
Autor:
 Blup
Datum:
  24.02.2009 19:17:01
reagovat

trochu ses ke konci upsal, ale jinak dobré

Autor:
 dm
Datum:
  27.10.2009 05:46:47
reagovat

vidis, to mas pravdu, jdu to opravit...

Autor:
 guest
Datum:
  01.03.2010 22:11:43
reagovat

píšeš jak p**a

Autor:
 dm
Datum:
  02.03.2010 03:24:22
reagovat

tak si to napis sam a drz hubu vole