Tahák Matematika 20-dvojný,trojný,křivkový integrál,MNČ,interpolace, lin.operáto

Dvojný a trojný integrál: Dělení D(obdélníky),oblast , I – uvnitř , E - spol.bod s 

I(,D)E(,D),  I(,D)…součet ploch v I(,D),  E(,D)…součet ploch v E(,D)

 E(,D) I(,D), sup  I(,D)=(), inf  E(,D)=()

vnější míra ()() vnitřní míra, ()=()=() míra množiny  měřitelná

V:Jsou-li ₁,₂ takové, že mají společné nejvýše body hraniční, měřitelné 

 ₁₂ měřitelná, míra sjednocení (₁₂)= (₁)+ (₂) součet měr

f omezená na  měřitelné, =_i, _i, _i libovol. bod (_i,_i)

S(D)=f(_i,_i) _i…část. integrální součet příslušný dělení D

S(,D), posloupnost D_m,(D_m)0, max diam (průměr) _i =supdist(x,y), x,y_i 

lim (m,(D_m)0) S(,D_m)=_ f d, nezávisí na volbě (_i,_i) ani výběru D_m

V(post. podm. ex. ):f spojitá sk. vš. v  (měřitelná)-míra množ. bodu nespojitosti=0

Míra množiny v R₃: dělení kvádry D, jinak stejné

f omez. na , _i, lib. (_i,_i,_i)_i, S(,D)=f(_i,_i,_i) _i, D_m,(D_m)0

lim (m,(D_m)0) S(,D_m)=_ f d

Vlastnosti:_ (f+g)d=._ f+._ g, (₁₂) f=(₁)f+(₂)f, ₁,₂ spoj b nejv hranice

monotonie gf na _ g  _ f, spec. f0_ f 0, _ f _ f,

f spoj.,  uz. ex., _ f d=f().()

V(Fubiniho):f integrovatelná, g₁, g₂ def. a spoj. na , pro x je g₁(x)₂(x)

_ f(x,y) dxdy=[a,b]([g₁(x),g₂(x)] f(x,y) dy) dx)=[a,b] dx .[g₁(x),g₂(x)] f(x,y) dy

g₁(x,y) z g₂(x,y)  _ f(x,y,z) dxdydz=_1dxdy.[g₁(x,y),g₂(x,y)] f(x,y,z) dz

a z b  _ f(x,y,z) dxdydz=[a,b] dz.[(z)] f(x,y,z) dxdy

Transformace(substituce): na ₁ vzájemně jednoznačné,

x=x(u,v), y=y(u,v) – spoj. diferencovatelné na , det((x,y)/(u,v))=J 0 v 

_1 f(x,y) dxdy=_ f(x(u,v),y(u,v)).Jdudv

R₃ jedn., s.d. x=x(u,v,w),..,z=.._1 f(x,y,z) dxdydz=_ f(x(u,v,w),..).Jdudvdw

Křivkové integrály: (x(t),y(t),z(t)), t₁,t₂>, x(t),y(t),z(t)(0,0,0) spoj.

křivka x=x(s),..,z=z(s), f(x,y,z) def. na křivce, omez., S(D)=f(_k,_k,_k).s_k, s_k= s_k- s_k-1

D_m,(D_m)0, lim (m,(D_m)0) S(D_m)=_c f(x,y,z) ds křivkový integrál 1.druhu

_c f(x,y,z) dS=[0,L] f(x(S),..,z(S)) dS, délka křivky x=x(t),..,z=z(t), t₁,t₂>:

ds=([x(t)]²+[y(t)]²+[z(t)]²) dt, _c f(x,y,z) ds=[t₁,t₂] f(x(t),..,z(t)).([x]²+[y]²+[z]²)dt

křivkový integrál 2.druhu: S(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(..)j+R(..)k

P(_k,_k,_k).x_k+Q(..).y_k+R(..).z_k limitní přechod _c P(x,y,z)dx+Q(..)dy+R(..)dz

x=x(t),..,z=z(t), x_k –x_k-1=x()(t₂ – t₁)I= [t₁,t₂] [P(x(t),y(t),z(t)).x(t)+Q(..).y(t)+R(..).z(t)]dt

Jestliže se kříž. der. rovnají, pak k. i. 2. dr. nezávisí na křivce, jen na konc. a poč. bodě

f(x,y,z)=Pi+Qj+Rk,U(x,y,z), dU=Pdx+Qdy+Rdz, P/y=Q/x, P/z=R/x, Q/z=R/y

 Pdx+Qdy+Rdz=U(x,b)-U(,b), U(x,y,z)=[x₀,x] P(,y,z) d+[y₀,y] Q(x,,z) d+[..]R(..)d

V(Greenova): předp.:uzavřená křivka, oblast jednoduše souvislá

P(x,y), Q(..), P/y (x,y), Q/x (..) spoj. na ₁>> _c Pdx+Qdy=_ (Q/x–P/y) dxdy

velikost plochy vyj. uzavř. křivkou =1/2 _c xdy – ydx, g. význam–plocha pláště _c z ds

Aproximace funkcí: _n(x)=c₀g₀(x)+..+c_ng_n(x), c_iR, g_i(x)-zákl. fce lin. nezávislé

1) Hermitorova interpolace- x₀,..,x_m uzly, _n(x_i)=f(x_i) + rovnost derivací v uzlech

2) (_a[_n(x)–f(x)]²)dx spoj., [(_n(x_i)–f(x_i))²] diskrétní, 3) Čebyševovo – stejnoměrná

Interpolace polynomická _n(x)=c₀+c₁x+c₂x²+..+c_nxⁿ, _n(x)= L_n(x) Lagr. polynom

L_n(x₀)=f(x₀)… L_n(x_m)=f(x_m), F_i(x)=(x-x₀)..(x-x_i–1)(x-x_i+1)..(x-x_n)/[(x_i-x₀)..(x_i-x_i–1)(x_i-x_i+1)..(x_i-x_n)]

Lagrangeův polynom L_n(x)= f(x_i) F_i(x)

Newtonův polynom: princip kce L_n(x)= L₀(x)+(L₁(x)–L₀(x))+(L₂(x)–L₁(x))+..+(L_n(x)–L_n-1(x))

Diference 1.ř. f(x_i,x_i+1)=y_i+1–y_i/[x_i+1–x_i], k. řád f(x_i,..,x_i+k)= f(x_i+1,..,x_i+k)–f(x_i,..,x_i+k-1)/[x_i+k–x_i]

N_n(x)=f(x₀)+f(x₀,x₁)(x-x₀)+f(x₀,x₁,x₂)(x-x₀)(x-x₁)+..+f(x₀,..,x_n)(x-x₀)(x-x₁)..(x-x_n-1)

Přesnost a kvg interpol. aproximace: f(x), , uzly x₀,..,x_n, L_n(x)

1) přesnost: R_n(x)=L_n(x)–f(x)=_n(x).f⁽ⁿ⁺¹⁾ () / (n+1)!, _n(x)=(x-x₀)(x-x₁)..(x-x_n),

(min(x,x₀,..,x_n), max(x,x₀,..,x_n)), f⁽ⁿ⁺¹⁾() M_n+1 R_n(x) M_n+1/(n+1)!.max _n(x)

2) U_n={x₀⁽ⁿ⁾,..,x_n⁽ⁿ⁾}, max x_i+1⁽ⁿ⁾ – x_i⁽ⁿ⁾ 0

Interpolace spline fcemi:S(x)=S_i(x) < x_i–1–x_i>, SC⁽²⁾

S(x)=S_i(x)=a_i+b_ix+c_ix²+d_ix³, okraj. podm. S(a)=y₀, S(b)=y_n nebo S(a)=y₀, S(b)=y_n

S_i-1(x_i–1)=S_i(x_i–1)= M_i-1 momenty, a₁M₀+2M₁+ b₁M₂=c₁, a₂M₁+2M₂+ b₃M₃=c₂

Metoda nejmenších čtverců: _n(x)=c₀g₀(x)+..+c_ng_n(x), c_iR, g_i(x)-zákl. fce vybrané

diskrét. případ x₀,..,x_m _m=[(f(x_i)–_n(x_i))²], _m²(c_0,..,c_n)=_m (f(x_i)–_n c_j g_j (x_i)

_m²(c_0,..,c_n)/c_k=0, k=0,..,n, soust. normál. rov. - g_k(x) diskr. lin. nezávislé

(g_k(x₀),.., g_k(x_n)), k=0,..,n, diskr. skal. součin (,)_m=_m (x_i).(x_i),

s. n. r. _n (g_k,g_j)_m c_j=(f,g_k)_m, k=0,..,n určíme c_j a dosadíme _n(x)=c₀g₀(x)+..+c_ng_n(x)

Volba zákl. fcí: 1) g_k(x)=x^k (1,x,x²,..,xⁿ), n9 ekv. děleníšpatně podm. úloha

2) ortogonální (ortonormální) pol. (g_i,g_j)_m=_ij, _ij=0 ij, _ij0 i=j

(g_k, g_k)_m c_k=(f,g_k)_m pro k=0,..,n c_k=(f,g_k)_m/(g_k, g_k)_m

Metoda nejmenších čtverců ve spoj. případě: f(x), x, _n(x)=c₀g₀(x)+..+c_ng_n(x)

=( [a,b] f(x)–_n(x) dx), ²=[a,b] (f(x)–_n(x))² dx, (,)=[a,b] (x).(x) dx

podm. minimality ²(c_0,..,c_n)/c_k=0, k=0,..,n

syst. norm. rov. _n (g_k,g_j).c_j=(f,g_k), k=0,..,n určíme c_j a dosadíme do _n(x)

Volba zákl. fcí ve spoj. případě: 1) g₀(x)=x^k –klas. algebraické pol.-nepřesné

2) ortogonální pol.-Legendrovy na ₁,t₂>

(g_k,g_j)=_kj, _kj=0 kj, _kj0 k=j,, (g_k, g_k).c_k=(f,g_k)  c_k=(f,g_k)/(g_k, g_k)

P_k(t)=1/(2^k.k!).d^k/(d.t^k).[t²-1]^k ortogonální na <-1,1>

Vektorové prostory se skal. součinem: X..vekt. prostor, skal. součin (u,v):X×XR

vlast.: 1 (u,v)=(v,u), 2 (u+v,w)=(u,w)+(v,w), 3 (u,v)=(u,v), 4 (u,u)0, (u,u)=0u=oX

kanonický skal. součin R_n: (u,v)=u₁v₁+..+u_nv_n, C (u,v)= [a,b] f(x).g(x) dx

Def. ortogonality: u a v jsou ortogonální uv(u,v)=0

Norma=velikost vektoru – def. u=(u,u), vlast.: 1 u>0, u=0  u=o

2 u=.u, 3 (u,v) u.v-S-C-B ner., 4 u+vu+v  nerovnost

Metrika: (u,v)=u-v=vzdál. 2 vektorů, vlast.: 1 sym. (u,v)=(v,u), 2 (u,v)0,

(u,v)=0  u=v, 3 (u,v) (u,z)+(z,v)  nerovnost

Schmidtův ortonormalizační proces: u₁,..,u_n báze, e₁,..,e_n báze ortonormální

1.krok e₁=u₁/u₁, 2. krok e₂^*=e₁+u₂, (e₂^*,e₁)=0, e₂=u₂–(u₂,e₁)e₁/u₂–(u₂,e₁)e₁,

3.krok e₃^*=e₁+e₂+u₃, (e₃^*,e₁)=0, (e₃^*,e₂)=0, e₃=u₃–(u₃,e₁)e₁–(u₃,e₂)e₂/čit.

Ortogonální doplněk: dána M=množ. vektorů, M^={u,uM}

Lin. operátory: X,Y v.p., A(zobrazení):XY, Def.: A lineární, jestiže A(x+y)=A(x)+A(y),

A(rx)=rA(x), xX, rR, vlast.: 1 o_xo_y, 2 -x -A(x), 3 lin. komb. lin. komb.,

4 obraz vekt. podprostoru v X je v.pp. v Y, 5 vzor v. pp. v Y je v.pp. v X

jádro (v. pp. v X) Ker A={uX, A(u)=o_y}=A^–1({o_y}), dim Ker A=d(A) defekt operátoru

I_m A (v. pp. v Y)={A(u),uX}=A(x), dim I_m A=h(A) hodnost operátoru

V: dim X< , d(A)+h(A)=dim X, A izomorfismus: A prosté- Ker A={o}, A na y: I_m A=Y

Maticová reprezentace lin. operátorů: L(X,Y) – množina všech lin. operátorů z X do Y

L(X,Y)prostor matic, (A+B)(x)=A(x)+B(x), (rA)(x)=rA(x), dimX=n,dimY=m L(X,Y)M_mn

A: XY, X{u₁,..,u_n}=U báze, Y{v₁,..,v_n}=V, A(u₁),..,A(u_n)

A(u₁)=a₁₁v₁+a₂₁v₂+..+a_m1v_m,..,A(u_n)=a_1nv₁+a_2nv₂+..+a_mnv_m, =(a_ij)=matice (a₁₁,..,a_mn)

^T_V=.U.V.^T_U, ^T_V…souř. vzhledem k V tj. Y=₁v₁+..+_mv_m, _V=(₁,..,_m)

A izomorfismus- _UV čtvercová regul., A^–1 také izo, ^–1_UV inverzní matice

Def. podobnosti: A a B podob., jestliže ex. regul. mat. P, že A=P^–1.B.P nebo A=P.B.P^–1

Def. vlast. čísel: y^T=A.x^T=. x^T pro C a xo, pak č. C nazveme vlastním a x přísluš. vlast. vektorem, A.x^T–. x^T=o, (A– I)x^T=o, det (A– I)=0 – charakt. rov.

(a₁₁–)x₁+..+a_1nx_n=0, a_n1x₁+..+(a_nn–)x_n=0  ₁,..,_nC

Komentáře (0)