Tahák Matematika 20-dvojný,trojný,křivkový integrál,MNČ,interpolace, lin.operáto

Kategorie >>Věda a technika>> Tahák Matematika 20-dvojný,trojný,křivkový integrál,MNČ,interpolace, lin.operáto



Dvojný a trojný integrál: Dělení D(obdélníky),oblast , I – uvnitř , E - spol.bod s


I(,D)E(,D), I(,D)…součet ploch v I(,D), E(,D)…součet ploch v E(,D)


E(,D) I(,D), sup I(,D)=(), inf E(,D)=()


vnější míra ()() vnitřní míra, ()=()=() míra množiny měřitelná


V:Jsou-li 1,2 takové, že mají společné nejvýše body hraniční, měřitelné


 12 měřitelná, míra sjednocení (12)= (1)+ (2) součet měr


f omezená na měřitelné, =i, i, i libovol. bod (i,i)


S(D)=f(i,i) i…část. integrální součet příslušný dělení D


S(,D), posloupnost Dm,(Dm)0, max diam (průměr) i =supdist(x,y), x,yi


lim (m,(Dm)0) S(,Dm)= f d, nezávisí na volbě (i,i) ani výběru Dm


V(post. podm. ex. ):f spojitá sk. vš. v (měřitelná)-míra množ. bodu nespojitosti=0


Míra množiny v R3: dělení kvádry D, jinak stejné


f omez. na , i, lib. (i,i,i)i, S(,D)=f(i,i,i) i, Dm,(Dm)0


lim (m,(Dm)0) S(,Dm)= f d


Vlastnosti: (f+g)d=. f+. g, (12) f=(1)f+(2)f, 1,2 spoj b nejv hranice


monotonie gf na  g f, spec. f0 f 0, f  f,


f spoj., uz. ex., f d=f().()


V(Fubiniho):f integrovatelná, g1, g2 def. a spoj. na , pro x je g1(x)2(x)


 f(x,y) dxdy=[a,b]([g1(x),g2(x)] f(x,y) dy) dx)=[a,b] dx .[g1(x),g2(x)] f(x,y) dy


g1(x,y) z g2(x,y)  f(x,y,z) dxdydz=1dxdy.[g1(x,y),g2(x,y)] f(x,y,z) dz


a z b  f(x,y,z) dxdydz=[a,b] dz.[(z)] f(x,y,z) dxdy


Transformace(substituce): na 1 vzájemně jednoznačné,


x=x(u,v), y=y(u,v) – spoj. diferencovatelné na , det((x,y)/(u,v))=J 0 v


1 f(x,y) dxdy= f(x(u,v),y(u,v)).Jdudv


R3 jedn., s.d. x=x(u,v,w),..,z=..1 f(x,y,z) dxdydz= f(x(u,v,w),..).Jdudvdw


Křivkové integrály: (x(t),y(t),z(t)), t1,t2>, x(t),y(t),z(t)(0,0,0) spoj.


křivka x=x(s),..,z=z(s), f(x,y,z) def. na křivce, omez., S(D)=f(k,k,k).sk, sk= sk- sk-1


Dm,(Dm)0, lim (m,(Dm)0) S(Dm)=c f(x,y,z) ds křivkový integrál 1.druhu


c f(x,y,z) dS=[0,L] f(x(S),..,z(S)) dS, délka křivky x=x(t),..,z=z(t), t1,t2>:


ds=([x(t)]2+[y(t)]2+[z(t)]2) dt, c f(x,y,z) ds=[t1,t2] f(x(t),..,z(t)).([x]2+[y]2+[z]2)dt


křivkový integrál 2.druhu: S(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(..)j+R(..)k


P(k,k,k).xk+Q(..).yk+R(..).zk limitní přechod c P(x,y,z)dx+Q(..)dy+R(..)dz


x=x(t),..,z=z(t), xk –xk-1=x()(t2 – t1)I= [t1,t2] [P(x(t),y(t),z(t)).x(t)+Q(..).y(t)+R(..).z(t)]dt


Jestliže se kříž. der. rovnají, pak k. i. 2. dr. nezávisí na křivce, jen na konc. a poč. bodě


f(x,y,z)=Pi+Qj+Rk,U(x,y,z), dU=Pdx+Qdy+Rdz, P/y=Q/x, P/z=R/x, Q/z=R/y


Pdx+Qdy+Rdz=U(x,b)-U(,b), U(x,y,z)=[x0,x] P(,y,z) d+[y0,y] Q(x,,z) d+[..]R(..)d


V(Greenova): předp.:uzavřená křivka, oblast jednoduše souvislá


P(x,y), Q(..), P/y (x,y), Q/x (..) spoj. na 1>> c Pdx+Qdy= (Q/x–P/y) dxdy


velikost plochy vyj. uzavř. křivkou =1/2 c xdy – ydx, g. význam–plocha pláště c z ds


Aproximace funkcí: n(x)=c0g0(x)+..+cngn(x), ciR, gi(x)-zákl. fce lin. nezávislé


1) Hermitorova interpolace- x0,..,xm uzly, n(xi)=f(xi) + rovnost derivací v uzlech


2) (a[n(x)–f(x)]2)dx spoj., [(n(xi)–f(xi))2] diskrétní, 3) Čebyševovo – stejnoměrná


Interpolace polynomická n(x)=c0+c1x+c2x2+..+cnxn, n(x)= Ln(x) Lagr. polynom


Ln(x0)=f(x0)… Ln(xm)=f(xm), Fi(x)=(x-x0)..(x-xi–1)(x-xi+1)..(x-xn)/[(xi-x0)..(xi-xi–1)(xi-xi+1)..(xi-xn)]


Lagrangeův polynom Ln(x)= f(xi) Fi(x)


Newtonův polynom: princip kce Ln(x)= L0(x)+(L1(x)–L0(x))+(L2(x)–L1(x))+..+(Ln(x)–Ln-1(x))


Diference 1.ř. f(xi,xi+1)=yi+1–yi/[xi+1–xi], k. řád f(xi,..,xi+k)= f(xi+1,..,xi+k)–f(xi,..,xi+k-1)/[xi+k–xi]


Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+..+f(x0,..,xn)(x-x0)(x-x1)..(x-xn-1)


 


 


Přesnost a kvg interpol. aproximace: f(x), , uzly x0,..,xn, Ln(x)


1) přesnost: Rn(x)=Ln(x)–f(x)=n(x).f(n+1) () / (n+1)!, n(x)=(x-x0)(x-x1)..(x-xn),


(min(x,x0,..,xn), max(x,x0,..,xn)), f(n+1)() Mn+1 Rn(x) Mn+1/(n+1)!.max n(x)


2) Un={x0(n),..,xn(n)}, max xi+1(n) – xi(n) 0


Interpolace spline fcemi:S(x)=Si(x) < xi–1–xi>, SC(2)


S(x)=Si(x)=ai+bix+cix2+dix3, okraj. podm. S(a)=y0, S(b)=yn nebo S(a)=y0, S(b)=yn


Si-1(xi–1)=Si(xi–1)= Mi-1 momenty, a1M0+2M1+ b1M2=c1, a2M1+2M2+ b3M3=c2


Metoda nejmenších čtverců: n(x)=c0g0(x)+..+cngn(x), ciR, gi(x)-zákl. fce vybrané


diskrét. případ x0,..,xm m=[(f(xi)–n(xi))2], m2(c0,..,cn)=m (f(xi)–n cj gj (xi)


m2(c0,..,cn)/ck=0, k=0,..,n, soust. normál. rov. - gk(x) diskr. lin. nezávislé


(gk(x0),.., gk(xn)), k=0,..,n, diskr. skal. součin (,)m=m (xi).(xi),


s. n. r. n (gk,gj)m cj=(f,gk)m, k=0,..,n určíme cj a dosadíme n(x)=c0g0(x)+..+cngn(x)


Volba zákl. fcí: 1) gk(x)=xk (1,x,x2,..,xn), n9 ekv. děleníšpatně podm. úloha


2) ortogonální (ortonormální) pol. (gi,gj)m=ij, ij=0 ij, ij0 i=j


(gk, gk)m ck=(f,gk)m pro k=0,..,n ck=(f,gk)m/(gk, gk)m


Metoda nejmenších čtverců ve spoj. případě: f(x), x, n(x)=c0g0(x)+..+cngn(x)


=( [a,b] f(x)–n(x) dx), 2=[a,b] (f(x)–n(x))2 dx, (,)=[a,b] (x).(x) dx


podm. minimality 2(c0,..,cn)/ck=0, k=0,..,n


syst. norm. rov. n (gk,gj).cj=(f,gk), k=0,..,n určíme cj a dosadíme do n(x)


Volba zákl. fcí ve spoj. případě: 1) g0(x)=xk –klas. algebraické pol.-nepřesné


2) ortogonální pol.-Legendrovy na 1,t2>


(gk,gj)=kj, kj=0 kj, kj0 k=j,, (gk, gk).ck=(f,gk) ck=(f,gk)/(gk, gk)


Pk(t)=1/(2k.k!).dk/(d.tk).[t2-1]k ortogonální na <-1,1>


Vektorové prostory se skal. součinem: X..vekt. prostor, skal. součin (u,v):X×XR


vlast.: 1 (u,v)=(v,u), 2 (u+v,w)=(u,w)+(v,w), 3 (u,v)=(u,v), 4 (u,u)0, (u,u)=0u=oX


kanonický skal. součin Rn: (u,v)=u1v1+..+unvn, C (u,v)= [a,b] f(x).g(x) dx


Def. ortogonality: u a v jsou ortogonální uv(u,v)=0


Norma=velikost vektoru – def. u=(u,u), vlast.: 1 u>0, u=0 u=o


2 u=.u, 3 (u,v) u.v-S-C-B ner., 4 u+vu+v nerovnost


Metrika: (u,v)=u-v=vzdál. 2 vektorů, vlast.: 1 sym. (u,v)=(v,u), 2 (u,v)0,


(u,v)=0 u=v, 3 (u,v) (u,z)+(z,v) nerovnost


Schmidtův ortonormalizační proces: u1,..,un báze, e1,..,en báze ortonormální


1.krok e1=u1/u1, 2. krok e2*=e1+u2, (e2*,e1)=0, e2=u2–(u2,e1)e1/u2–(u2,e1)e1,


3.krok e3*=e1+e2+u3, (e3*,e1)=0, (e3*,e2)=0, e3=u3–(u3,e1)e1–(u3,e2)e2/čit.


Ortogonální doplněk: dána M=množ. vektorů, M={u,uM}


Lin. operátory: X,Y v.p., A(zobrazení):XY, Def.: A lineární, jestiže A(x+y)=A(x)+A(y),


A(rx)=rA(x), xX, rR, vlast.: 1 oxoy, 2 -x -A(x), 3 lin. komb. lin. komb.,


4 obraz vekt. podprostoru v X je v.pp. v Y, 5 vzor v. pp. v Y je v.pp. v X


jádro (v. pp. v X) Ker A={uX, A(u)=oy}=A–1({oy}), dim Ker A=d(A) defekt operátoru


Im A (v. pp. v Y)={A(u),uX}=A(x), dim Im A=h(A) hodnost operátoru


V: dim X< , d(A)+h(A)=dim X, A izomorfismus: A prosté- Ker A={o}, A na y: Im A=Y


Maticová reprezentace lin. operátorů: L(X,Y) – množina všech lin. operátorů z X do Y


L(X,Y)prostor matic, (A+B)(x)=A(x)+B(x), (rA)(x)=rA(x), dimX=n,dimY=m L(X,Y)Mmn


A: XY, X{u1,..,un}=U báze, Y{v1,..,vn}=V, A(u1),..,A(un)


A(u1)=a11v1+a21v2+..+am1vm,..,A(un)=a1nv1+a2nv2+..+amnvm, =(aij)=matice (a11,..,amn)


TV=.U.V.TU, TV…souř. vzhledem k V tj. Y=1v1+..+mvm, V=(1,..,m)


A izomorfismus- UV čtvercová regul., A–1 také izo, –1UV inverzní matice


Def. podobnosti: A a B podob., jestliže ex. regul. mat. P, že A=P–1.B.P nebo A=P.B.P–1


Def. vlast. čísel: yT=A.xT=. xT pro C a xo, pak č. C nazveme vlastním a x přísluš. vlast. vektorem, A.xT. xT=o, (A– I)xT=o, det (A– I)=0 – charakt. rov.


(a11)x1+..+a1nxn=0, an1x1+..+(ann)xn=0 1,..,nC


 



Souvisejicí články
Tahák Fyzika 20 - hydromechanika, termodynamikaTeplotní roztažnost, vedení tepla, cykly...
Tahák Zkušebnictví, nauka o materiálechFakulta stavební VUT, ČVUT
Tahák Nauka o budovách 51, NB 51, NB 50ČVUT, Fakulta stavební




Vloženo: 18.07.2009 19:24
Přečteno:3238
Autor: David Mizera

Hlasů: 0 Hodnocení(jako ve škole): nehlasováno
 

Komentáře (0)

   -     Nový Komentář