Odvození tečny ke kružnici - Thaletova věta

Kategorie >>Věda a technika>> Odvození tečny ke kružnici - Thaletova věta


Nedávno jsem potřeboval znát přesnou polohu tečny kružnice kružnice - napojení přímého úseku silnice na kruhový oblouk. Nechtělo se mi to hledat v tabulkách ani rýsovat a odměřit, proto jsem si odvodil jednoduchý vzorec pro vyhledání bodu dotyku přímky a kružnice. Jelikož to je jednoduché odvození a kolikrát se hodí, tak jsem to sem hodil.




 


Zadání:


 


Máte zadán bod B[xb,yb] a kružnici k(S;r=R), střed S[xs,ys]. Najděte tečnou přímku vedenou bodem B, která má s kružnicí k bod dotyku T[xT,yT] a odvoďte souřadnice bodu dotyku T. Úhel sevřený osou x a přímkou vedenou body BT je úhel α.


 


 


Řešení:


 


Řešit tento problém lze v geometrii Thaletovou větou či odvozením ze vzorců rovnice přímky a kružnice.


 


 


Thaletova věta


říká asi toto: máme kružnici k a úsečku /AB/, jejíž délka je rovna průměru kružnice (/AB/=d=2r) a je vedena středem kružnice (prostě úsečka co půlí kružnici na dvě stejné poloviny). A pokud vedeme z krajních bodů A,B úsečky na kterýkoli bod C na kružnici k (vyjma krajních bodů A,B této úsečky) získáme trojúhelník ABC.Na tomto trojúhelníku je hezké to, že úhel nad průměrem - úsečkou /AB/ (tj. úhel u bodu C) je vždy pravý.


 


Pro jednoduchost vložíme bod B do počátku soustavy souřadnic x : B[0,0]0, kružnice k(S,r=R) bude ležet na ose x tedy S[xs,0].


 


Větu o pravém úhlu na Thaletově kružnici hned využijeme - potřebujeme tečnu ke kružnici k, tudíž nás hned napadne, že tečná přímka svírá s úsečkou /ST/ pravý úhel (/ST/ jspojuje střed S kružnice k a tečný bod T). Tudíž to navádí k Thaletově kružnici k2, která je definovaná středem S2= /BS/ (vzdálenost bodu B a středu S kružnice k) a poloměrem r=R2=½ BS = ½ Xs.


 


Tedy k2(S2;r=½ BS). A okamžitě z obrázku můžeme odvodit vzdálenost xt a yt hledaného bodu T.


Pozn.: sqrt = odmocnina; x^y = x na y


Odvození tečny ke kružnici - thaletova věta


a).     Thaletova kružnice


xt = BT . cos (α)


yt = R . cos (α) také BT . sin (α)


BT = √[Xs2 - R2] cos (α) = BT/Xs = √[Xs2-R2] / Xs


sin (α) = R /Xs


xt = BT . cos (α) = √[Xs2-R2] . √[s2-R2] / Xs = (Xs2-R2) /Xs


yt = R . cos (α) = R . √[Xs2-R2] /Xs


 


rovnice tečné přímky t:


t = x . tg (α) = x . sin (α)/cos (α) = x . [R/Xs] . ( Xs/[Xs2-R2] )


t = x . R/ [Xs2 - R2]


 


Při odmocňování jsme brali pouze kladnou hodnotu - tj. našli jsme pouze tečný bod v kladné části osy y.


 


b). Rovnice přímky t a kružnice k(Xs; r=R)


 


pro srozumitelnost xs=M


 


t: y = a.x


k: (x - M)2 + y2 = R2


dosazení y do druhé rovnice:


x2 - 2.M.x + M2 + a2.x2 = R2


(1 + a2).x2 - (2.M)x + (M2 - R2) = 0


 


! řešení (právě 1 řešení) .. determinant roven 0 :


D=0 :


4M2 - 4 (a2 + 1)(M2 - R2) = 0


a = ± R . (1/[M2-R2])


t: y = ± (R /[M2-R2]) . x


 


Takže známe přesnou podobu rovnice tečny, načli jsme koeficient rovnice tečny a. Pro zjištění tečných bodů známe tedy podobu rovnice tečny a rovnice kružnice, dáme to dohromady a uvidíme, co vznikne. t a k :


(x - M)2+ [R2 /(M2 - R2)].x2 = R2 (1 + R2 / [M2 - R2]).x2 + (-2M).x + (M2 - R2) = 0


kontrola D=0 ... právě 1 řešení :


D = 4M2 - 4 . (M2 - R2).(1 + R2 / [M2 - R2])= skutečně 0


 


Xt = 2M / ( 2 . [ 1 + R2/{M2 - R2} ] )


Xt = (M2 - R2) / M


 


Yt = ± R . [1 / (M2 - R2)] . (M2 - R2) / M


Yt = ± R . (M2 - R2) / M


 


Jak vidíme nebylo to nic těžkého a zkontrolovali jsme si správnost obou řešení. Je krásně vidět, jak je řešení dané úlohy jednoduché při znalosti geometrických vztahů.


Ave Braník



Souvisejicí články
Tabulka po 1º sin(x), sin(2x),sin2(x),cos(x),cos(2x),cos2(x),tg(x),tg(2x)..Hodnoty goniometrických funkcí
Hyperbolické funkce - sinh, cosh, tgh, arctgh, sech, cosech
Pravoúhlý trojúhelník rovnoramenný- vlastnosti
Velikost úsečky v prostrou
Kruh o stejném obsahu jako čtverec
Pythagorova větaPythagorova věta s obrázkem
Tabulka elementárních derivací
Deviační moment pravoúhlého trojúhelníkuVýpočet pomocí dvojného integrálu
Moment setrvačnosti pravoúhlého trojúhelníkuVýpočet pomocí dvojného integrálu
Obsah lichoběžníku pomocí dvojného integráluOdvození vzorce pro obsah lichoběžníku
Obsah pravoúhlého trojúhelníku pomocí dvojného integráluOdvození známeho vzorce pro obsah trojúhelníku
Goniometrické funkce násobků a poloviny argumentusin2x, sin3x,sin4x, cos2x,cos3x,...
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného argumentutg, cotg, sin, cos
Znaménka hodnot goniometrických funkcí v kvadrantech
Definice goniometrických funkcí na pravúhlém trojúhelníkusin, cos, tg, cotg, sec, cosec
Hodnoty goniometrických funkcí pro význačné úhlyTabulka vyčíslených hodnot.
Funkce sinus a cosinusv oboru reálných čísel




Vloženo: 26.01.2007 23:59
Přečteno:16515
Autor: David Mizera

Hlasů: 54 Hodnocení(jako ve škole): 2.57
 

Komentáře (3)

   -     Nový Komentář
Autor:
 Makuliii
Datum:
  29.04.2008 22:57:29
reagovat
Nic těžkého ?? :D
Autor:
 dm
Datum:
  02.05.2008 20:55:18
reagovat
az budu mit net, predelam to pekne na radky, takle to je strasne drahy si s tim hrat..... neni to tezky, az to bude prehledny, todle je prasarna nejhorsiho kalibru
Autor:
 Bc. Hastík
Datum:
  11.02.2012 09:27:16
reagovat

Rozesmálo mě popis úhlu "alfa" :D