Obsah lichoběžníku pomocí dvojného integrálu

Máme zadán lichoběžník 0HAB, potřebujeme spočítat jeho obsah:

Body lichoběžníku 0HAB, zjednodušený zápis bez indexů..:

0[0,0]

H[H,0]

A[C,H]

B[0,B]

Nejprve zjistime rovnici přímky AB:

y = kx + const.

bod B: x = 0 : y = B, potom y = kx + B

bod A: x = H : y = C, potom C = kH + B

z toho:

k = (C - B) / H

Rovnice AB:

y = x . (C - B) / H + B

Pro výpočet obsahu lichoběžníku použijeme dvojný integrál z 1 (hustota =1).

S = ∫∫ dx dy = ∫[₀,^H]dx ∫[₀, ^{(C-B)/H.x + B}]dy =

= ∫[₀,^H] ( (C-B)/H . x + B ) dx = [(C - B )/ 2H . x² + Bx]₀^H=

= (C - B) . H /2 + BH = H . (C+B) / 2

obsahu lichoběžníku:

S = H . (C+B) / 2

Kontrola.. součet obsahů obdédlíku AC0H a obsahu trojúhelníku ACB:

S = CH + (B - C) . H / 2 = H (C -C/2 +B/2) = H (C + B) / 2, takže souhlasí s výpočterm..

kde např. [₀,^A] .. 0 je dolní mez integrálu a A je horní mez integrálu

tedy to samo jako známý vzorec S = a . v_a / 2

přičemž v pravoúhlém trojúhelníku je v_a = b

Komentáře (0)